四元数
Ref. Erhan Ata and Yusuf Yayli, Dual unitary matrices and unit dual quaternions. DGDS(Differential Geometry - Dynamical System), Vol. 10, 2008, pp.1-12.
四元数是指集合
\[
\mathbb{H}=\{a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k\mid a_i\in\mathbb{R}, i=0,1,2,3\}
\]
中的元素. $\mathbb{H}$ 是一个 4 维实线性空间. $\{1,i,j,k\}$ 是 $\mathbb{H}$ 的一个基(一般称为一组基).
若在 $\mathbb{H}$ 中引入上面的乘法, 即
\[i^2=j^2=k^2=-1,\quad ij=k=-ji,\]
则 $(\mathbb{H},+,\cdot,1)$ 成为一个代数. (容易验证 $jk=i=-kj$, $ki=j=-ik$, $ijk=-1$.) 而且 $(\mathbb{H},+,\cdot,1)$ 还是一个结合代数, 并且关于乘法不可交换.
Remark: 有时, 也用符号 $e_0,e_1,e_2,e_3$ 分别代替 $1,i,j,k$. 因为 $i$ 用于表示 $\sqrt{-1}\in\mathbb{C}$.
为方便起见, 引入记号. 设 $p$ 是一个四元数, $p=a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k=s_p+V_p$, 其中 $s_p=a_0$, $V_p=a_1 i+ a_2 j+a_3 k$. 我们姑且分别称 $s_p$, $V_p$ 为 $p$ 的数量部分和向量部分. 于是, 对任意的 $p,q\in\mathbb{H}$, 及任意的 $\lambda\in\mathbb{R}$,
\[p+q=(s_p+V_p)+(s_q+V_q)=(s_p+s_q)+(V_p+V_q)=s_{p+q}+V_{p+q},\]
\[\lambda p=\lambda s_p+\lambda V_p=s_{\lambda p}+V_{\lambda p}.\]
$\mathbb{H}$ 作为通常的向量空间, 亦可引入内积的概念. 设 $p=a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k$, $q=b_0+b_1 i+ b_2 j+b_3 k$, 则定义
\[
\langle p,q\rangle :=a_0 b_0+a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3.
\]
于是 $\langle p,q\rangle=s_p s_q+\langle V_p,V_q\rangle$.
记 $p=a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k=s_p+V_p$ 的共轭为 $p^+=a_0-a_1 i- a_2 j-a_3 k=s_p-V_p$.
Claim. $(pq)^{+}=q^{+}p^{+}$.